A3=O 이면 A의 역행렬이 존재하지 않는다. (만약, A의 역행렬이 존재한다면 A3=O 의 양변에 A의 역행렬의 제곱을 곱하면 A=O 이 되므로 모순이다.) 따라서, A=(a b) 라 하면 D=ad-bc=0 이고, c d 케일리-해밀턴의 정리에 의하여 A2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O A2 =(a+d)A (D=ad-bc=0) A3 =(a+d)A2 =(a+d)2A =O 이므로 A=O 또는 a+d=0 이다. 그런데 A=O 이면 a+d=0 이므로 결국 a+d=0 이다. 그러므로, A2 =(a+d)A =O 이다.
(만약, A의 역행렬이 존재한다면 A3=O 의 양변에 A의 역행렬의 제곱을
곱하면 A=O 이 되므로 모순이다.)
따라서, A=(a b) 라 하면 D=ad-bc=0 이고,
c d
케일리-해밀턴의 정리에 의하여
A2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O
A2 =(a+d)A (D=ad-bc=0)
A3 =(a+d)A2
=(a+d)2A =O
이므로 A=O 또는 a+d=0 이다.
그런데 A=O 이면 a+d=0 이므로 결국 a+d=0 이다.
그러므로, A2 =(a+d)A =O 이다.