in_ok.gif<P>한변의 길이가 a 인 정삼각형 ABC에서 선분 AB에 임의의 점P가 있다. 선분PB제곱+선분PC제곱의 최소값은?</P>
<P>(변a로 답할것.)
<HR>
</P>
<P>답: 8분의 7 a제곱</P>
<P>**답이 a제곱이 아니라는 사실을 증명해 보세요.</P>
* 관리자님에 의해서 게시물 복사되었습니다 (2005-08-22 15:19)
<P>(변a로 답할것.)
<HR>
</P>
<P>답: 8분의 7 a제곱</P>
<P>**답이 a제곱이 아니라는 사실을 증명해 보세요.</P>
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어렵네요?? 힌트 없나요?
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C에서 AB로 수직으로 내리면...직각삼각형으로 두개 생기잖아요! 그렇게 해서 하면...원하는 값은 a^2 이 되는데...?
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이것 아시는 분 없나요?
저도 잘 안풀려 지네요??? -
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[힌트] 1) 2차 방정식의 최소값으로
2) c^2 = a^2 + b^2 ---> 각c 가 직각일때
c^2 > a^2 + b^2 ---> 각c 가 둔각일때
c^2 < a^2 + b^2 ---> 각c 가 예각일때
그럼 다시 풀어보세요.. -
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변 AB의 중점을 M이라 두면 대칭성에 의해 점 P는 변 BM 위에 있다고 가정할 수 있습니다. 이 때, 변 BP의 길이를 x라 놓으면 변 CP의 제곱은 CM^2 + MP^2 = 3/4*a^2 + (a/2 -x)^2이므로 BP^2 + CP^2 = 2*x^2 - a*x + a^2 = 2*(x-a/4)^2 + 7/8*a^2이 되어 점 P가 선분 BM의 중점일 때, 최소값은 7/8*a^2이 됨을 알 수 있습니다.
문제는 "왜 a^2이 아닌가"하는 것인데 BP^2 + CP^2 = BP^2 + PM^2 + CM^2 < BM^2 + CM^2 = a^2 이므로 a^2 보다 작아져야 함을 알 수 있습니다. -
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답변 감사합니다.
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김대수님 학생이신가요? 선생님이신가요?
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어렵다............
