0<x<1 인 실수 x에 대하여
logx의 가수와 log1/x 의 가수가 같게되는
모든 x값들의 제곱의 합은?
답은 1/9 이라는데... 좀 풀어주세요
logx의 가수와 log1/x 의 가수가 같게되는
모든 x값들의 제곱의 합은?
답은 1/9 이라는데... 좀 풀어주세요
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abcXYZ, 세종대왕,1234
abcXYZ, 세종대왕,1234
logx와 log(1/x)의 가수가 같으므로 logx - log(1/x)은 정수이다.
logx - log(1/x)=logx - logx-1=logx + logx=2logx
=2(n+a)=2n + 2a
2n은 정수이므로 2a가 정수다.
0<=2a<2 이므로,
2a=0 또는 2a=1 ===> a=0 또는 a=1/2
(1) a=0 인 경우
logx=n (0<x<1 이므로 n은 음의정수)
x=10n ====> x=10-1,10-2,10-3,10-4, ......
x2=10-2,10-4,10-6,10-8, ......
(2) a=1/2 인 경우
logx=n+1/2
즉, logx=-1+1/2, -2+1/2, -3+1/2, -4+1/2, .......
따라서, x=10-1/2, 10-3/2, 10-5/2, 10-7/2, ......
x2=10-1,10-3,10-5,10-7, .....
(1),(2)의 모든 x2의 합은
10-1+10-2+10-3+10-4+10-5+ .......
= 10-1/ ( 1 - 10-1) ( 공비가 10-1 이고 첫째항이 10-1 인 무한등비급수)
= 1/9